Yuhai Tuの論文を読み解く-01
・Yuhai Tuの論文，2008年
Yuhai Tuは，Bergさんの研究室で研究を行い，現在，IBM T. J. Watson Research Centerにおられるようです．
走化性の理論研究者で，様々な論文を出されております．
今回は，その基礎となる
を読み解いていきます．
賢い方なので，途中の式をどんどん省いているので，なかなかついて行けません．
論文の主旨を完全に理解しているわけではないので，あくまで数式を追う程度しかできませんが．．
・式 [2], [3]
式[2]：\( \Large \displaystyle a= G(m,[L]) \)
式[3]：\( \Large \displaystyle G(m,[L]) = G(f_t (m,[L]) = (1+exp(f_t (m,[L])))^{-1} \)
ということで，aの活性は，メチル化，リガンド濃度に依存する，ことが分かります．まとめると，
\( \Large \displaystyle a = \frac{1}{1+exp(f_t (m,[L]))} \)
となります．本文中で，two-state model，とありますので，二状態モデルであることが分かります．
（ft の添え字のｔはtwo？）
まずこの数式の展開を考えます．
・二状態モデル
Aという状態とリガンドLが結合して，A・Lという状態の平衡状態を考えます．
\( \Large \ce{A +L <=>C[k_{on}][k_{off}] AL} \)
Aは保存されているので，
\( \Large A +AL = 1 \) を満たします．したがって，
\( \Large k_{on} \cdot A \cdot L = k_{off} \cdot AL \)
それぞれの割合はボルツマン分布に従いますので，
\( \Large \displaystyle k_{on} \cdot L = C \ exp \left( - \frac{e_{on}}{k_B T} \right) \equiv C \ exp \left( -E_{on} \right) \)
\( \Large \displaystyle k_{off} = C \ exp \left( - \frac{e_{off}}{k_B T} \right) \equiv C \ exp \left( -E_{off} \right) \)
となります，ここで，\( \Large \displaystyle \frac{e_{on}}{k_B T} \equiv E_{on} \) とします．
解離定数，K，は，
\( \Large \displaystyle \frac{k_{off}}{k_{on} \cdot L } \equiv \frac{K}{L} = exp \left[ - \left( E_{off} - E_{on} \right) \right] = exp \left( - \Delta E \right) = \frac{A}{AL} \)
\( \Large \displaystyle \left( \Delta E \equiv E_{off} - E_{on} \right) \)
\( \Large \displaystyle - \left( E_{off} - E_{on} \right) = ln \left( \frac{K}{L} \right) \)
\( \Large \displaystyle E_{on} = E_{off} + ln \left( \frac {K}{L} \right) \)
と書き表すことができます．
また，
\( \Large \displaystyle \frac{A}{AL}= exp \left( - \Delta E \right) \) なので，保存則を用いて，
\( \Large \displaystyle A = (1-A) exp \left( - \Delta E \right) \)
\( \Large \displaystyle = exp \left( - \Delta E \right) - A \cdot exp \left( - \Delta E \right) \)
\( \Large \displaystyle A = \frac{exp \left( - \Delta E \right)}{1 + exp \left( - \Delta E \right)} \)
\( \Large \displaystyle = \frac{1}{1 + exp \left( \Delta E \right)} \)
となります．
大腸菌走化性においては，CheA（ここでは，a，です）の活性は，リガンドが結合していない状態を表しますので，
\( \Large \displaystyle a = A = \frac{1}{1 + exp \left( \Delta E \right)} \)
となることが分かります．